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おうぎ形の中の、色の部分

小6〜図形・面積中学受験おうぎ形合同

問題

半径12cm、中心角90°のおうぎ形OABがあります (OAが右向き、OBが上向き)。弧AB上に、角AOP=30°となる点Pと、角AOQ=60°となる点Qをとります。PとQから、それぞれ半径OAに垂直な線を引き、OAと交わる点をH (Pから)、J (Qから) とします。線QJ・線JH・線HP と弧PQ で囲まれた部分に色をぬりました。円周率は3.14とします。

  1. 三角形OPHと三角形OQJは合同です。そのわけを説明しましょう。
  2. 色をぬった部分の面積は何cm²ですか。
条件をまとめて見る
  • おうぎ形OAB: 半径12cm、中心角90°
  • P: 弧の上、角AOP=30°
  • Q: 弧の上、角AOQ=60°
  • H, J: P, Q から OA に下ろした垂線の足
  • 色の部分: QJ・JH・HP・弧PQ で囲まれた部分
  • 円周率 3.14
図：半径12cm・中心角90°のおうぎ形OAB。弧の上の点P・Q、垂線PH・QJ。QJ・JH・HP・弧PQで囲まれた部分に色

プリント（PDF）をダウンロードA4 2枚。1枚目：問題と図・書き込む余白／2枚目：答えと解き方

解説動画

この問題の解説動画は準備中です。答えと解き方の要点は下にあります。

答えと解き方

答えを見る
  1. どちらも斜辺が半径12cmの直角三角形で、角POH＝30°、角OQJ＝30°。斜辺と1つの鋭角が等しいので合同。
  2. 37.68cm²（中心角30°のおうぎ形OPQと同じ）
解き方の要点を見る
  1. 三角形OPHは角H＝90°・角POH＝30°、三角形OQJは角J＝90°・角QOJ＝60°なので角OQJ＝30°。どちらも斜辺は半径の12cm。
  2. 形 O→H→P→（弧）→Q→O を2通りに分ける：「三角形OPH＋おうぎ形OPQ」＝「三角形OQJ＋色の部分」。
  3. 三角形OPHとOQJは同じ面積なので、色の部分＝おうぎ形OPQ（中心角 60°−30°＝30°）。
  4. 12×12×3.14×30/360＝37.68cm²。

出典：洗足学園中 2026年度 算数 第1回 大問2(4) の考え方をもとに、わたしのが作り直した問題です（入試問題そのものではありません）。