正方形の紙の2つの角を、同じ1点に折る。折り目の位置は？
問題
1辺12cmの正方形の紙ABCDがあります。辺AD上に AE=4cm となる点Eをとり、BEを折り目にして折ると、頂点Aは紙の上の点Pに重なりました。紙をもとにもどし、次に辺CD上の点Fをとって BFを折り目にして折ると、頂点Cも同じ点Pにぴったり重なりました。
- 角EBFは何度ですか。
- CFの長さは何cmですか。
必要な前提：折り返し (形も大きさも同じ)・三角形の面積・□を使った式
条件をまとめて見る
- 正方形の紙ABCD・1辺12cm (A 左上・B 左下・C 右下・D 右上)
- E は辺AD上で AE=4cm
- BE で折ると A が点P に重なる
- F は辺CD上・BF で折ると C も同じ点P に重なる
プリント（PDF）をダウンロードA4 2枚。1枚目：問題と図・書き込む余白／2枚目：答えと解き方
解説動画
ゆいの解説です（音が出ます）。別解：きょうへい。YouTube のチャンネル @watashino_app でも見られます。
ゆい解説①ひらめきで一気に／2分01秒／字幕つき（画面の中）
ゆい解説②ひらめきで一気に／1分56秒／字幕つき（画面の中）
ゆい解説③ひらめきで一気に／2分07秒／字幕つき（画面の中）
ゆい解説④ひらめきで一気に／1分22秒／字幕つき（画面の中）
ゆい解説⑤ひらめきで一気に／1分43秒／字幕つき（画面の中）
きょうへい別解解説①「なぜ」をとことん／2分46秒／字幕つき（画面の中）
きょうへい別解解説②「なぜ」をとことん／1分42秒／字幕つき（画面の中）
きょうへい別解解説③「なぜ」をとことん／1分46秒／字幕つき（画面の中）
答えと解き方
答えを見る
- 45°
- 6cm
解き方の要点を見る
- 折り返しても角の大きさは変わらない。角ABE＝角EBP、角PBF＝角FBC。この4つの角で、角Bの直角 90° ができている。
- (1) 角EBF＝角EBP＋角PBF は、4つの角のちょうど半分 → 90÷2＝45°。
- (2) 角EPB と角BPF は、もとの角A・角C と同じ 90°。90＋90＝180° なので、E・P・F は一直線にならぶ。
- CF を □cm、DF を「残り」とする。正方形 144cm² は、三角形ABE・EBP (24cm² ずつ)、三角形CBF・FBP (合わせて 12×□)、三角形DEF (8×残り÷2＝4×残り) の5つに分かれる → 12×□＋4×残り＝144−48＝96。
- 辺CD の 12cm を「□ の部分 (1cm あたり 12cm²)」と「残りの部分 (1cm あたり 4cm²)」に分けたつるかめ算。全部が残りなら 4×12＝48 で、96 に 48 足りない。1cm 入れかえるごとに 12−4＝8 増える → □＝48÷8＝6cm。