正五角形の中に正方形。のばした線が作る角は何度？
問題
正五角形ABCDEの内側に、辺ABを1辺とする正方形ABFGをかきます (FはBの側、GはAの側の頂点です)。
- 角FCDは何度ですか。
- 線CFをFの方へのばした線と、線EGをGの方へのばした線が交わる点をPとします。角FPGは何度ですか。
必要な前提：正多角形の1つの角 (五角形は108度)・正方形の角は90度・二等辺三角形の底角・三角形の角の和は180度
条件をまとめて見る
- 正五角形ABCDE
- 正方形ABFG (辺ABを1辺とし、正五角形の内側。FはBの側、GはAの側)
- P は 線CF をFの先へのばした線と、線EG をGの先へのばした線の交わる点
プリント（PDF）をダウンロードA4 2枚。1枚目：問題と図・書き込む余白／2枚目：答えと解き方
解説動画
ゆいの解説です（音が出ます）。YouTube のチャンネル @watashino_app でも見られます。
ゆい解説①ひらめきで一気に／1分57秒／字幕つき（画面の中）
ゆい解説②ひらめきで一気に／1分38秒／字幕つき（画面の中）
ゆい解説③ひらめきで一気に／1分52秒／字幕つき（画面の中）
ゆい解説④ひらめきで一気に／1分44秒／字幕つき（画面の中）
答えと解き方
答えを見る
- 27°
- 162°
解き方の要点を見る
- 正五角形の5つの角を合わせると 180°×3＝540°。1つの角は 540°÷5＝108°。正方形の角は 90°。
- BF は正方形の辺なので AB と同じ長さ。BC は正五角形の辺なので、これも AB と同じ長さ。BF＝BC なので、三角形BCF は二等辺三角形。
- (1) 角FBC＝108°−90°＝18°。三角形BCF の底の角は (180°−18°)÷2＝81°。→ 角FCD＝108°−81°＝27°。
- (2) 点F のまわりで、角GFB 90° と角BFC 81° を合わせると 171°。一直線の 180° まで残りは 9° なので、CF をのばした線 FP と FG のあいだの角は 9°。
- 図は左右対称なので、G のところも同じ 9°。三角形PFG の角の和から、角FPG＝180°−9°−9°＝162°。