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半円と三角形を重ねる。はみ出た所が等しくなる高さは？

図形・円とおうぎ形ちょいムズ・偏差値55差を考える共通部分半円

問題

直径 AB が 20cm の半円があります (中心 O、半円は AB の上がわ)。AB を底辺とし、O の真上の点P を頂点とする二等辺三角形PAB を、半円に重ねてかきます。P の高さ (OP) は 10cm より高く、辺PA・PB はそれぞれ半円の弧と交わります。半円のうち三角形の外にある部分 (左右に2か所) をまとめて ア、三角形のうち半円の外にある部分 (上に1か所) を イ とします。円周率は 3.14 とします。

  1. ア と イ の面積が等しくなるのは、OP が何cm のときですか。
  2. (1) のときから P を真上にさらに 2cm 高くすると、イ は ア より何cm² 大きくなりますか。

必要な前提：半円の面積・三角形の面積

条件をまとめて見る
  • 半円: 直径 AB = 20cm・中心 O・AB の上がわ
  • 三角形PAB: 底辺 AB・P は O の真上・OP > 10cm
  • ア = 半円の中で三角形の外 (左右2か所の合計)、イ = 三角形の中で半円の外 (上の1か所)
  • 円周率は 3.14
図：直径AB 20cm・中心Oの半円に、Oの真上の点Pを頂点とする二等辺三角形PABを重ねた図。半円の中で三角形の外の左右2か所がア、三角形の中で半円の外の上の1か所がイ。OP に ?

プリント（PDF）をダウンロードA4 2枚。1枚目：問題と図・書き込む余白／2枚目：答えと解き方

解説動画

この問題の解説動画は準備中です。答えと解き方の要点は下にあります。

答えと解き方

答えを見る
  1. 15.7cm
  2. 20cm²
解き方の要点を見る
  1. 半円と三角形の重なった部分を「共通」とすると、半円＝ア＋共通、三角形＝イ＋共通。
  2. だから イ−ア＝三角形−半円。ア＝イ なら 三角形＝半円。
  3. 半円は 10×10×3.14÷2＝157cm²。(1) 20×OP÷2＝157 なので OP＝15.7cm。
  4. (2) 高さを 2cm 上げると三角形は 20×2÷2＝20cm² ふえる。イ−ア＝20cm²。