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台形のつばさ、どっちが大きい？

小5〜図形・面積中学受験等積変形相似

問題

上の辺ADが4cm、下の辺BCが12cm、高さが8cmの台形ABCDがあります (ADとBCは平行です)。対角線ACとBDが交わる点をOとします。台形は4つの三角形に分かれます。

  1. 三角形ABCと三角形DBCの面積をそれぞれ求めましょう。
  2. 左の三角形ABOと右の三角形DCOは、形がちがいます。面積はどちらが大きいですか。
  3. 4つの三角形 AOD・ABO・DCO・BOC の面積をそれぞれ求めましょう。
条件をまとめて見る
  • 台形ABCD: AD∥BC、AD=4cm、BC=12cm、高さ8cm
  • Aは Bの真上から右へ2cmの位置、DはAから右へ4cm (左右非対称の台形)
  • O: 対角線AC と BD の交点
図：台形ABCDと対角線。上の辺AD 4cm、下の辺BC 12cm、高さ 8cm、対角線の交点O。左右の三角形ABOとDCOに色

プリント（PDF）をダウンロードA4 2枚。1枚目：問題と図・書き込む余白／2枚目：答えと解き方

解説動画

ゆいの解説です（音が出ます）。YouTube のチャンネル @watashino_app でも見られます。

答えと解き方

答えを見る
  1. どちらも 48cm²
  2. 同じ（どちらも 12cm²）
  3. AOD 4cm²・ABO 12cm²・DCO 12cm²・BOC 36cm²
解き方の要点を見る
  1. 三角形ABCとDBCは、底辺BC（12cm）が同じ。ADとBCは平行なので、高さもどちらも8cm。→ どちらも 12×8÷2＝48cm²。
  2. どちらの三角形も、三角形BOCをふくんでいる。48cm²から同じ三角形BOCを引いた残りが、左のつばさABOと右のつばさDCO。→ 形はちがっても面積は同じ。
  3. AD：BC＝4：12＝1：3。三角形AODとCOBは形が同じ（拡大・縮小）なので、Oは高さ8cmを1：3に分ける。→ BCからOまでの高さは6cm、ADからOまでは2cm。
  4. BOC＝12×6÷2＝36、AOD＝4×2÷2＝4、ABO＝DCO＝48−36＝12。合計 4＋12＋12＋36＝64 は、台形の面積 (4＋12)×8÷2＝64 と合う。

出典：全国学力・学習状況調査 平成22年度 小学校算数B 大問4 の考え方をもとに、わたしのが作り直した問題です（元の問題そのものではありません）。